导数的定义

🔷 定义 1：导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域(不是去心邻域)内有定义,若极限

$$\begin{align} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{align}$$

存在,则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导,并称该极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数,记作 $f'(x_0)$ 。

如果令 $\Delta x=x-x_0,\Delta y =f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,则上式可以改写为:

$$\begin{align} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) \end{align}$$

可以看出,导函数也是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限,因此导数也称差商。

如果 $(1)$ 式极限不存在,则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导。

由于在某一点的极限可以分为左极限和右极限,因此相应地可以定义左右导数:

🔷 定义 2：左右导数

(左导数)设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个左邻域 $(x_0-\delta,x_0]$ 内有定义,若左极限

$$\begin{align} \lim_{x\to x_{0^{-}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{align}$$

存在,则称该极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数 ,记作 $f'_{-}(x_0)$ 。

在点 $x_0$ 的某个右邻域 $[x_0,x_0+\delta)$ 内有定义,若右极限

$$\begin{align} \lim_{x\to x_{0^{+}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{align}$$

存在,则称该极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右导数,记作 $f'_{+}(x_0)$ 。

相应地,左右导数也可以写成如下:

$$\begin{align} &f'_{-}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ &f'_{+}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}$$

左导数和右导数统称单侧导数。

🔶 定理 1

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义,则：

$f'(x_0)$ 存在 $\Longleftrightarrow$ $f'_{-}(x_0)$ 与 $f'_{+}(x_0)$ 均存在且相等

证明： ( $\Rightarrow$ )因为 $f'(x_0)$ 存在,因此极限

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在,因此该极限的左右极限存在且相等,也即 $f'_{-}(x_0)$ 与 $f'_{+}(x_0)$ 均存在且相等. ( $\Leftarrow$ )因为 $f'_{-}(x_0)$ 与 $f'_{+}(x_0)$ 均存在且相等,因此左右极限

$$\lim_{x\to x_{0^{-}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

与

$$\lim_{x\to x_{0^{+}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

均存在且相等,因此 $f'(x_0)$ 存在。

📌 例 1

求函数 $f(x)=x^2$ 在点 $x=0$ 处的导数。

解： 根据定义,求得：

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2-0}{x-0}=0$$

因此函数 $f(x)=x^2$ 在点 $x=0$ 处的导数 $f'(0)=0$ .

📌 例 2

求函数 $f(x)=\sin x$ 在点 $x=0$ 处的导数。

解： 根据定义,得：

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-0}{x-0}=1$$

因此函数 $f(x)=x^2$ 在点 $x=0$ 处的导数 $f'(0)=1$ .

🔶 定理 2：可导的必要条件

若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导,则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

证明： 由于函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导,根据定义,极限

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在,由于分母极限为 $0$ ,因此分子极限为 $0$ ,也即

$$\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-f(x_0)\right]=0$$

因此

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=0$$

故 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

🔵 推论 1

上述命题的逆否命题成立,即若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续,则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导。

📌 例 3

证明符号函数

$$sgn x=\begin{cases} -1,&x<0\\ \ 0\ \ ,&x=0\\ \ 1\ \ ,&x>0\\ \end{cases}$$

在 $x=0$ 处不可导。

证明： 由于 $sgn x$ 在 $x=0$ 处不连续,因此 $sgn x$ 在 $x=0$ 处不可导。

🔷 定义 3：导函数的定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $I=(a,b)$ 上每一点都可导,则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的可导函数。 对于每个 $x\in I$ ,都存在 $f'(x)$ 。此时称 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的导函数,简称导数。其中

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ ,\ x\in I$$

若 $I$ 可以取到端点,如 $I=[a,b]$ ,则端点的导数值即为端点的左导数或右导数。 因此有时候也可以用导函数表示导数值,即

$$f'(x_0)=\left.y'\right|_{x=x_0}=\left.f'(x)\right|_{x=x_0}=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$$

我们下面求一些基本初等函数的导数：

📌 例 4

求 $f'(x)$ ,其中：

1. $f(x)=C,\ C\in R$

2. $f(x)=x^n,\ n\in N_{+}$

3. $f(x)=\sin x$

4. $f(x)=a^{x},\ a>0$

5. $f(x)=\ln x$

6. $f(x)=\arctan x$

解：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{C-C}{\Delta x}=0$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}(\Delta x)^{k-1}=nx^{n-1}$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin{\frac{\Delta x}{2}}\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}=\cos x$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=a^{x}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}=\frac{1}{x}$$

6. 由 $\arctan A\pm\arctan B=\arctan\frac{A\pm B}{1\mp AB}$ ,因此:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arctan(x+\Delta x)-\arctan x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arctan{\frac{\Delta x}{1+x^2+x\Delta x}}}{\Delta x}=\frac{1}{1+x^2}$$