多元函数的微分与偏导数

(本节仅为下节引入隐函数存在定理做铺垫,不要求掌握。)

类似于一元函数,多元函数也可以研究其可微性与可导性,不过对于多元函数,其导数一般指的是其偏导数。 在定理可微与可导的关系中,我们证明了一元函数可微与可导是等价的,但是在多元函数里这个结论就不成立了,后续我们会举例说明这个结论不成立。

下面我们介绍多元函数的微分,并引入多元函数偏导数。由于二元及以上函数类似,因此下面多元函数一般指二元函数。

🔷 定义 8：二元函数的微分

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 上有定义,若 $P(x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ ,若 $f(x,y)$ 在 $P$ 点的全增量 $\Delta z$ 可表示为

$$\begin{align} \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ) \end{align}$$

其中 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ,则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微,称 $A\Delta x+B\Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的全微分。

有时使用式(26)并不方便,我们也可以写成下面形式：

🔶 定理 11：可微的等价条件

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微,则：

$$\begin{align} \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y \end{align}$$

其中

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}{\alpha}=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}{\beta}=0$$

证：

只需证明

$$\alpha \Delta x+\beta \Delta y=o(\rho )=o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$$

即可。也即证明

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha \Delta x+\beta \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$

事实上

$$\begin{align*} &0 \leq \left|\frac{\alpha \Delta x+\beta \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|\leq \left|\frac{\alpha \Delta x}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|+\left|\frac{\beta \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|\leq |\alpha|+|\beta|\to 0 \ \ \ \left((\Delta x,\Delta y)\to(0,0)\right) \end{align*}$$

这说明

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha \Delta x+\beta \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$$

📌 例 13

证明函数 $f(x,y)=xy$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。

证：

由于

$$\Delta f=(x_0+\Delta x)(y_0+\Delta y)-x_0y_0=y_0\Delta x+x_0\Delta y+\Delta x\Delta y$$

而

$$0 \leq \left|\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|\leq |\Delta y|\cdot\left|\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|\leq |\Delta y|\to 0 \ \ \ \left((\Delta x,\Delta y)\to(0,0)\right)$$

这说明 $\Delta x\Delta y=o(\rho)$

从偏导数字面意思,不难猜出“偏”的意思是对一个自变量求导。事实也的确如此,如果我们要求 $f(x,y)$ 对 $x$ 的偏导数,我们只需将 $y$ 看成常数,然后使用一元函数求导法则对 $f(x,y)$ 求导即可。

🔷 定义 9：偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 定义域为 $D$ , $(x_0,y_0)\in D$ ,且关于 $x$ 的一元函数 $g(x)=f(x,y_0)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义,若极限

$$\begin{align} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \end{align}$$

存在,则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)\in D$ 可对 $x$ 偏导,其偏导数记为 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$ \ 同理,若关于 $y$ 的一元函数 $h(x)=f(x_0,y)$ 在 $U(y_0)$ 内有定义,且极限

$$\begin{align} \lim_{y\to y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} \end{align}$$

存在,则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)\in D$ 可对 $y$ 偏导,其偏导数记为 $f_y(x_0,y_0)$ 或 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}$ \ 如果函数在区域 $D$ 内可偏导,则可得到一个偏导函数,记为 $f_x(x,y),\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 或 $f_y(x,y),\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$

定义了偏导数之后,我们可以计算微分中的 $A,B$ 具体等于多少。 由于

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y$$

采用定义偏导数的思想,定义 $\Delta y=0$ ,并令 $\Delta x\to 0$ 则

$$A=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A\Delta x+\alpha \Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=f_{x}(x_0,y_0)$$

同理可得

$$B=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{B\Delta x+\beta \Delta y}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=f_{y}(x_0,y_0)$$

定义了微分和偏导数之后,我们就可以讨论它们之间的关系了。

🔶 定理 12：可微和可偏导的关系

在多元函数中,可微条件更强,可微一定可偏导,但是反之不成立。

证：

经过刚才的计算,我们知道,如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微,那么

$$A=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

因此 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可对 $x$ 偏导,且 $f_{x}(x_0,y_0)=A$ ,同理可知 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可对 $y$ 偏导,且 $f_{y}(x_0,y_0)=B$ 。

反之我们只需取一个反例即可。我们取

$$f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},\ &x^2+y^2\ne 0\\ 0,\ &x^2+y^2= 0\\ \end{cases}$$

根据偏导数的定义,我们有

$$f_{x}(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0$$

以及

$$f_{y}(0,0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0$$

而

$$\Delta z-dz=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)\Delta x-f_{y}(0,0)\Delta y=\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

但是极限

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{\rho\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

即极限

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

不存在(可取 $\Delta y=0$ 和 $\Delta y=\Delta x$ )。因此逆命题不成立。即可偏导但不一定可微

因此上述定理也称为可微的必要条件。相应的,也有可微的充分条件。

🔶 定理 13：可微的充分条件

偏导数连续条件更强,偏导数连续一定可微,但是反之不成立。

证：

设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有连续的偏导数 $f_x,f_y$ 。首先

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$$

上式中两个中括号内均是一元函数,因此均可使用Lagrange中值定理,得

$$\Delta z=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y\ , (0<\theta_i<1)$$

由于偏导数 $f_x,f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续,因此

$$\begin{align*} &f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha\\ &f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\beta \end{align*}$$

其中 $\alpha,\beta\to 0\ ,\ ((\Delta x,\Delta y)\to(0,0))$ \ 因此

$$\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y$$

故由推论cor:可微的等价条件可知函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微。

反之我们只需取一个反例即可,我们取

$$f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},\ &x^2+y^2\ne 0\\ 0,\ &x^2+y^2= 0\\ \end{cases}$$

我们可以先根据定义求 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$

$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x\sin \frac{1}{|\Delta x|}=0$$

同理可得 $f_y(0,0)=0$ ,因此

$$\Delta z-dz=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)\Delta x-f_{y}(0,0)\Delta y=(\Delta x^2+\Delta y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

而

$$0\leq \left|\frac{(\Delta x^2+\Delta y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right| \leq \left|\Delta x\right|\cdot \left|\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right|+\left|\Delta y\right|\cdot \left|\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\right| \leq \left|\Delta x\right|+\left|\Delta y\right|\to 0 \ ((\Delta x,\Delta y)\to(0,0))$$

因此函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微,但是计算其偏导。 当 $x^2+y^2\ne 0$ 时

$$f_x(x,y)=2x\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

令 $y=0$ ,则

$$f_x(x,0)=2x\sin \frac{1}{|x|}-\frac{x}{|x|}\cos \frac{1}{|x|}$$

可知上式在 $(0,0)$ 间断,即偏导数并不连续。

同一元复合函数类似,二元复合函数也能求导与微分。

🔶 定理 14：复合函数的偏导数

若函数 $s=f(x,y),t=g(x,y)$ 在区域 $D$ 上可微, $F(s,t)$ 在 $D'$ 可微,那么 $F(f(x,y),g(x,y))$ 在 $S=\{(x,y)|(f(x,y),g(x,y))\in D',(x,y)\in D\}$ 上可微,且

$$\begin{align} \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial x}\\ \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} \end{align}$$

我们不再证明上述定理。

笔记： 需要注意的是,该定理不仅适用于多元函数求偏导,也适用于一元函数求导。如 $y=s^t,s=t=x$ ,那么

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{ds}\cdot\frac{ds}{dx}+\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=t\cdot s^{t-1}+s^{t}\ln s=x^x+x^x\ln x=x^x(1+\ln x)$$

🔶 定理 15

一般地,对于 $n$ 元复合函数 $F(u_1,u_2,\cdots ,u_n)$ , $u_i=g_{i}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ,如果 $F,u_i$ 可微,那么

$$F(g_{1},g_{2},\cdots,g_{n})$$

对 $x_i$ 的偏导数为

$$\begin{align} \frac{\partial F}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial u_i}\cdot\frac{\partial u_i}{\partial x_i} \end{align}$$

与一元函数类似,二元函数也有中值定理。二元函数的中值定理与一元函数的Lagrange中值定理类似。

在介绍二元函数中值定理之前,先介绍一下凸区域的概念。

🔷 定义 10：凸区域

设 $D$ 为一区域,若任意 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\in D$ ,且 $P_1\ne P_2$ ,以及 $0\leq \lambda \leq 1$ 都有

$$P(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,\lambda y_1+(1-\lambda)y_2)=\lambda P_1+(1-\lambda)P_2\in D$$

则称区域 $D$ 为凸区域。

🔶 定理 16：二元函数中值定理

设二元函数 $f(x,y)$ 在凸开区域 $D$ 上可微,则对于任意两点 $P(a,b),Q(a+h,b+k)\in D$ ,存在实数 $0<\theta<1$ ,使得

$$\begin{align} f(a+h,b+k)-f(a,b)=f_{x}(a+\theta h,b+\theta k)h+f_{y}(a+\theta h,b+\theta k)k \end{align}$$

证：

令

$$F(t)=f(a+th,b+tk)\ (0\leq t\leq 1)$$

因此 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 连续, $(0,1)$ 上可导,使用Lagrange中值定理,有

$$F(1)-F(0)=F'(\theta)\ (0<\theta<1)$$

根据复合函数求导法则

$$F'(\theta)=f_{x}(a+\theta h,b+\theta k)h+f_{y}(a+\theta h,b+\theta k)k$$

由于 $D$ 为凸区域,因此 $(a+\theta h,b+\theta k)\in D$ ,因此可得

$$f(a+h,b+k)-f(a,b)=f_{x}(a+\theta h,b+\theta k)h+f_{y}(a+\theta h,b+\theta k)k$$