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参变量函数的导数

有时候,函数的方程并不是由 y=f(x)y=f(x) 形式给出的,而是使用参变量给出的。有时候也称为参数方程。不同于极坐标,参数方程只有一个变量,因此如果 xx 与 yy 能够一一对应,那么 yy 就是 xx 的函数,因此也能对 yy 求导。

🔷 定义 4：参变量函数的导数

一般而言,对于由参数方程给出的函数

{x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x=\varphi(t)&\\ y=\psi(t)& \end{cases}

其导数为

dydx=lim⁡Δt→0ψ(t+Δt)−ψ(t)φ(t+Δt)−φ(t)=lim⁡Δt→0ψ(t+Δt)−ψ(t)Δtlim⁡Δt→0φ(t+Δt)−φ(t)Δt=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)\begin{align} \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\psi(t+\Delta t)-\psi(t)}{\varphi(t+\Delta t)-\varphi(t)} =\frac{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\psi(t+\Delta t)-\psi(t)}{\Delta t}}{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi(t+\Delta t)-\varphi(t)}{\Delta t}} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \end{align}
📌 例 5

求上半椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0,y>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,y>0) 所确定的 y=y(x)y=y(x) 的导数。

解： 先写出椭圆参数方程

{x=acos⁡θy=bsin⁡θ\begin{cases} x= a\cos \theta&\\ y = b\sin \theta& \end{cases}

其中 0<θ<π0<\theta<\pi ,那么

dydx=dydθdxθ=bcos⁡θ−asin⁡θ=−bacot⁡θ\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{\theta}}=\frac{b\cos \theta}{-a\sin\theta}=-\frac{b}{a}\cot \theta
🔵 推论 2

对于某些使用极坐标表示的方程

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{cases} x=r\cos \theta&\\ y=r\sin\theta& \end{cases}

如果 r=r(θ)r=r(\theta) ,那么也能对 yy 求导,其导数为

dydx=(r(θ)sin⁡θ)′(r(θ)cos⁡θ)′=r′(θ)sin⁡θ+r(θ)cos⁡θr′(θ)cos⁡θ−r(θ)sin⁡θ\begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{(r(\theta)\sin \theta)'}{(r(\theta)\cos \theta)'}=\frac{r'(\theta)\sin \theta+r(\theta)\cos \theta}{r'(\theta)\cos \theta-r(\theta)\sin \theta} \end{align}
📌 例 6

求

{x=−cos⁡θy=θsin⁡θ\begin{cases} x=-\cos \theta&\\ y=\theta\sin\theta& \end{cases}

所确定的 y=y(x)y=y(x) 的导数。

解：

dydx=(θsin⁡θ)′(−cos⁡θ)′=sin⁡θ+θcos⁡θsin⁡θ=1+θcot⁡θ\frac{dy}{dx}=\frac{(\theta\sin\theta)'}{(-\cos \theta)'}=\frac{\sin\theta+\theta\cos\theta}{\sin \theta}=1+\theta\cot\theta