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高阶导数

某些函数能够可导,求导的得到的导函数仍是一个函数。因此如果导函数可导,那么求导得到的函数称为原函数的二阶导数。因此根据定义,我们可以定义二阶导数:

🔷 定义 11：二阶导数

对于可导函数 f(x)f(x) ,其导函数记为 f′(x)f'(x) ,如果极限

lim⁡x→x0f′(x)−f′(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}

存在,那么我们将此极限称为 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 的二阶导数,记作 f′′(x0)f''(x_0) 或 d2ydx2∣x=x0\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=x_0}

如果 f′(x)f'(x) 在区间 II 上都可导,即极限

lim⁡Δx→0f′(x+Δx)−f′(x)Δx (x∈R)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}\ (x\in R)

都存在,我们称 f(x)f(x) 在区间 II 上二阶可导,极限函数记作 f′′(x)f''(x) 或 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}

如果二阶导数也可导,那么可以求得三阶导数。以此类推,我们可以由 f(x)f(x) 的 n−1n-1 阶导数定义 nn 阶导数。

🔷 定义 12

对于 n−1n-1 阶可导函数 f(x)f(x) ,其 n−1n-1 阶导函数记为 f(n−1)(x)f^{(n-1)}(x) ,如果极限

lim⁡x→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}

存在,那么我们将此极限称为 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 的 nn 阶导数,记作 f(n)(x0)f^{(n)}(x_0) 或 dnydxn∣x=x0\left.\frac{d^n y}{dx^n}\right|_{x=x_0} 如果 f(n−1)(x)f^{(n-1)}(x) 在区间 II 上都可导,即极限

lim⁡Δx→0f(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)Δx (x∈R)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x+\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\Delta x}\ (x\in R)

都存在,我们称 f(x)f(x) 在区间 II 上nn阶可导,极限函数记作 f(n)(x)f^{(n)}(x) 或 dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}

二阶及以上导数统称为高阶导数。

下面我们求一些函数的高阶导数。

📌 例 14

求 f(x)f(x) 的 nn 阶导数,其中

  1. f(x)=xn (n∈N+)f(x)=x^n\ (n\in N_{+})

  2. f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x

  3. f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

  4. f(x)=exf(x)=e^x

  5. f(x)=xexf(x)=xe^x

解： 1.

f′(x)=nxn−1f′′(x)=n(n−1)xn−2⋯f(n−1)=n!xf(n)=n!f(n+1)=f(n+2)=⋯=0\begin{align*} &f'(x)=nx^{n-1}\\ &f''(x)=n(n-1)x^{n-2}\\ &\cdots\\ &f^{(n-1)}=n! x\\ &f^{(n)}=n!\\ &f^{(n+1)}=f^{(n+2)}=\cdots=0\\ \end{align*}

2&3.

f′(x)=cos⁡x=sin⁡(x+π2)f′′(x)=−sin⁡x=sin⁡(x+2⋅π2)f(3)(x)=−cos⁡x=sin⁡(x+3⋅π2)f(4)(x)=sin⁡x=sin⁡(x+4⋅π2)\begin{align*} &f'(x)=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &f''(x)=-\sin x=\sin\left(x+2\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &f^{(3)}(x)=-\cos x=\sin\left(x+3\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &f^{(4)}(x)=\sin x=\sin\left(x+4\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ \end{align*}

因此

sin⁡(n)x=sin⁡(x+n⋅π2)\sin^{(n)}x=\sin\left(x+n\cdot \frac{\pi}{2}\right)

同理可得

cos⁡(n)x=cos⁡(x+n⋅π2)\cos^{(n)}x=\cos\left(x+n\cdot \frac{\pi}{2}\right)

4.由于 (ex)′=ex(e^x)'=e^x , 因此f(n)=ex因此f^{(n)}=e^x

f′(x)=ex(x+1)f′′(x)=ex(x+2)⋯f(n)=ex(x+n)\begin{align*} &f'(x)=e^x(x+1)\\ &f''(x)=e^x(x+2)\\ &\cdots\\ &f^{(n)}=e^x(x+n)\\ \end{align*}

对于两个函数相乘的 nn 阶导数,我们称为莱布尼茨公式。

🔶 定理 17：莱布尼茨公式

设两个 nn 阶可导函数 u(x),v(x)u(x),v(x) ,我们有

(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)\begin{align} (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} \end{align}

证： 使用数学归纳法。

  1. n=1n=1 时, (uv)′=u′v+v′u(uv)^{'}=u'v+v'u 成立;

2.假设 n=m≥2n=m\ge 2 时成立,即有

(uv)(m)=∑k=0mCmku(m−k)v(k)(uv)^{(m)}=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k)}v^{(k)}

那么 n=m+1n=m+1 时,

(uv)(m+1)=[∑k=0mCmku(m−k)v(k)]′=∑k=0mCmku(m−k+1)v(k)+∑k=0mCmku(m−k)v(k+1)=∑k=0mCmku(m−k+1)v(k)+∑k=1m+1Cmk−1u(m−k+1)v(k)=∑k=1mCmku(m−k+1)v(k)+∑k=1mCmk−1u(m−k+1)v(k)+uv(m+1)+u(m+1)v=∑k=1mCm+1ku(m−k+1)v(k)+uv(m+1)+u(m+1)v=∑k=0m+1Cm+1ku(m−k+1)v(k)\begin{align*} &(uv)^{(m+1)}=\left[\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k)}v^{(k)}\right]'\\ &=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k+1)}v^{(k)}+\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k)}v^{(k+1)}\\ &=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k+1)}v^{(k)}+\sum_{k=1}^{m+1}C_{m}^{k-1}u^{(m-k+1)}v^{(k)}\\ &=\sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k}u^{(m-k+1)}v^{(k)}+\sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k-1}u^{(m-k+1)}v^{(k)}+uv^{(m+1)}+u^{(m+1)}v\\ &=\sum_{k=1}^{m}C_{m+1}^{k}u^{(m-k+1)}v^{(k)}+uv^{(m+1)}+u^{(m+1)}v\\ &=\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}u^{(m-k+1)}v^{(k)}\\ \end{align*}

由1,2可知公式(1)成立。

注： 证明过程中使用了组合数的性质 Cmk−1+Cmk=Cm+1kC_{m}^{k-1}+C_{m}^{k}=C_{m+1}^{k} 。根据组合数的定义立马可以证明。

我们尝试使用莱布尼茨公式求一些函数的高阶导数。

📌 例 15

求 y(n)y^{(n)} ,其中

  1. y=xexy=xe^x

  2. y=exsin⁡xy=e^{x}\sin x

解： 1.令 u(x)=ex,v(x)=xu(x)=e^x,v(x)=x ,则 u(n−k)=exu^{(n-k)}=e^x , v(k)=0(k≥2)v^{(k)}=0(k\ge 2)

因此

y(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)=∑k=01Cnkexx(k)=xex+Cn1ex=ex(x+n)y^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}=\sum_{k=0}^{1}C_{n}^{k}e^x x^{(k)}=xe^x+C_{n}^{1}e^x=e^x(x+n)

2.令 u(x)=ex,v(x)=sin⁡xu(x)=e^x,v(x)=\sin x ,则 u(n−k)=exu^{(n-k)}=e^x , v(k)=sin⁡(x+k⋅π2)v^{(k)}=\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right) 因此

y(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)=∑k=0nCnkexsin⁡(x+k⋅π2)y^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}e^x \sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)

注： 如果第2题不套用公式,逐次求导,得

y′=exsin⁡x+excos⁡x=(2)exsin⁡(x+π4)y′′=(2)2exsin⁡(x+2⋅π4)⋯y(n)=(2)nexsin⁡(x+n⋅π4)\begin{align*} &y'=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=(\sqrt{2})e^{x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ &y''=(\sqrt{2})^2 e^{x}\sin\left(x+2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\\ &\cdots\\ &y^{(n)}=(\sqrt{2})^{n} e^{x}\sin\left(x+ n \cdot \frac{\pi}{4}\right)\\ \end{align*}

这提醒我们

∑k=0nCnkexsin⁡(x+k⋅π2)=(2)nexsin⁡(x+n⋅π4)\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}e^x \sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)=(\sqrt{2})^{n} e^{x}\sin\left(x+ n \cdot \frac{\pi}{4}\right)

也即

∑k=0nCnksin⁡(x+k⋅π2)=(2)nsin⁡(x+n⋅π4)\begin{align} \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)=(\sqrt{2})^{n}\sin\left(x+ n \cdot \frac{\pi}{4}\right) \end{align}

下面我们证明上式是对的。

证： 使用数学归纳法。

  1. n=1n=1 时显然成立;

2.假设 n=m≥2n=m\ge 2 时成立,此时有

∑k=0mCmksin⁡(x+k⋅π2)=(2)msin⁡(x+m⋅π4)\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)=(\sqrt{2})^{m}\sin\left(x+ m \cdot \frac{\pi}{4}\right)

那么 n=m+1n=m+1 时,有

∑k=0m+1Cm+1ksin⁡(x+k⋅π2)=∑k=1mCm+1ksin⁡(x+k⋅π2)+sin⁡x+sin⁡(x+(m+1)⋅π2)=∑k=1mCmksin⁡(x+k⋅π2)+∑k=1mCmk−1sin⁡(x+k⋅π2)+sin⁡x+sin⁡(x+(m+1)⋅π2)=∑k=0mCmksin⁡(x+k⋅π2)+∑k=1m+1Cmk−1sin⁡(x+k⋅π2)=∑k=0mCmksin⁡(x+k⋅π2)+∑k=0mCmksin⁡(x+(k+1)⋅π2)=∑k=0mCmk[sin⁡(x+k⋅π2)+cos⁡(x+k⋅π2)]=2⋅∑k=0mCmksin⁡[(x+π4)+k⋅π2]=2⋅(2)msin⁡(x+π4+m⋅π4)=(2)m+1sin⁡[x+(m+1)π4]\begin{align*} &\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{m}C_{m+1}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\sin x+\sin\left(x+(m+1)\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k-1}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\sin x+\sin\left(x+(m+1)\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\sum_{k=1}^{m+1}C_{m}^{k-1}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\sin\left(x+(k+1)\cdot \frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\left[\sin\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(x+k\cdot \frac{\pi}{2}\right)\right]\\ &=\sqrt{2}\cdot \sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}\sin\left[\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+k\cdot \frac{\pi}{2}\right]\\ &=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^{m}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}+ m \cdot \frac{\pi}{4}\right)\\ &=(\sqrt{2})^{m+1}\sin\left[x+\left(m+1\right)\frac{\pi}{4}\right]\\ \end{align*}

这就证明了(2)是正确的。

📝 练习 3

求:

  1. (x2ex)(n)(x^{2}e^{x})^{(n)} (参考答案: ex[x2+2nx+n(n−1)]e^x[x^2+2nx+n(n-1)] )

  2. (excos⁡x)(n)(e^{x}\cos x)^{(n)} (参考答案: (2)ncos⁡(x+n⋅π4)(\sqrt{2})^{n}\cos\left(x+ n \cdot \frac{\pi}{4}\right) )

在上一节中,我们讨论了参变量函数的导数,不过只求了一阶导。我们现在求二阶导数。

🔵 推论 5：参变量函数的二阶导

对于由参数方程给出的函数

{x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x=\varphi(t)&\\ y=\psi(t)& \end{cases}

其一阶导数为

dydx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

其二阶导数为

d(dydx)dx=d(dydx)dtdxdt=ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)[φ′(t)]2φ′(t)=ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)[φ′(t)]3\begin{align} \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^2}}{\varphi'(t)} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3} \end{align}
📌 例 16

求

{x=−cos⁡θy=θsin⁡θ \begin{cases} x=-\cos \theta&\\ y=\theta\sin\theta& \end{cases}

所确定的 y=y(x)y=y(x) 的二阶导数。

解：

dydx=(θsin⁡θ)′(−cos⁡θ)′=sin⁡θ+θcos⁡θsin⁡θ=1+θcot⁡θ\frac{dy}{dx}=\frac{(\theta\sin\theta)'}{(-\cos \theta)'}=\frac{\sin\theta+\theta\cos\theta}{\sin \theta}=1+\theta\cot\theta

因此

d2ydx2=d(dydx)dx=d(dydx)dθdxdθ=cot⁡θ−θcsc⁡2θsin⁡θ\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\cot\theta-\theta\csc^2\theta}{\sin \theta}