隐函数求导与微分

前五节我们介绍了导数和微分定义及计算。对于一般函数而言,我们可以通过求导法则与微分法则计算它们的导数和微分, 但是有一类特殊的函数,它们由方程 $F(x,y)=0$ 定义。虽然 $y$ 是 $x$ 的函数,但是很难甚至无法写出它们的显式表达式即 $y=f(x)$ ,这类函数被称为隐函数。

🔷 定义 7：隐函数

设 $F(x,y)$ 是某个定义域 $D$ 上的函数,如果存在一个子集 $D'\subseteq D$ ,使得对任意 $x\in D'$ ,都有唯一的 $y$ ,满足

$$F(x,y)=0$$

则称方程 $F(x,y)=0$ 确定了一个隐函数,记作 $y=y(x)$ 。一般而言,隐函数无法写成 $y=f(x)$ 的形式。换言之,我们只知道 $y$ 是 $x$ 的函数,但是很难甚至无法写出它们的显式表达式即 $y=f(x)$ 。

但是并不是所有满足 $F(x,y)=0$ 的方程均能定义一个隐函数。比如 $x-y^2=0$ ,此时一个 $x=1$ 可以对应两个 $y$ ,分别为 $y_1=1,y_2=-1$ 。 因此我们想知道什么时候能够确定一个隐函数,下面引入隐函数存在性定理。

🔶 定理 8：隐函数存在唯一性定理

若函数 $F(x,y)$ 满足下面条件:

(1). $F(x,y)$ 在以 $P_0(x_0,y_0)$ 为内点的某一区域 $D\subset R^2$ 上连续;

(2). $F(x_0,y_0)=0$ ;

(3). $F(x,y)$ 在 $D$ 上存在连续的偏导数 $F_y(x,y)$ ,且 $F_y(x_0,y_0)\ne 0$ .

则

1.存在 $U(P_0)=(x_0-a,x_0+a)$ ,使得方程 $F(x,y)=0$ 在 $U(P_0)$ 上唯一确定了一个定义在某个邻域 $U(x_0)$ 上的隐函数 $y=f(x)$ ,且满足 $F(x,f(x))\equiv 0,y_0=f(x_0)$ ;

2. $f(x)$ 在 $U(P_0)$ 上连续.

证：

先证1.由于 $F_{y}(x_0,y_0)\ne 0$ ,不妨设 $F_{y}(x_0,y_0)>0$ .由于 $F_{y}(x,y)$ 在 $D$ 上连续,由连续函数保号性,必存在 $U'(P_0)=[x_0-b,x_0+b]\times [y_0-b,y_0+b]\subset D$ ,使得 $F_{y}(x_0,y_0)>0$ 。

因此,对给定的 $x\in[x_0-b,x_0+b]$ ,视 $F(x,y)$ 为 $y$ 的一元函数,那么其在 $[y_0-b,y_0+b]$ 严格递增且连续。又由于 $F(x_0,y_0)=0$ ,因此

$$F(x_0,y_0-b)<0,\:F(x_0,y_0+b)>0$$

又由于条件(1)的连续性,知 $F(x,y_0-b)$ 与 $F(x,y_0+b)$ 在 $x\in[x_0-b,x_0+b]$ 上也是连续的。因此由保号性,存在 $0<a\leq b$ (且要求 $a$ 满足 $F(x_0-a,y_0-b)<0,F(x_0+a,y_0+b)>0$ )。当 $x\in(x_0-a,x_0+a)$ 时,有

$$F(x,y_0-b)<0,\:F(x,y_0+b)>0$$

那么根据 $F(x,y)$ 的连续性,对任意固定的 $x'\in(x_0-a,x_0+a)$ ,都有

$$F(x',y_0-b)<0,\:F(x',y_0+b)>0$$

那么对 $F(x',y)$ 使用介值定理,以及单调性,知存在唯一的 $y'\in(x_0-b,x_0+b)$ ,使得 $F(x',y')=0$ ,这样就唯一确定了一个隐函数 $y=f(x)$ ,且 $F(x,f(x))\equiv 0$ .

再证2.由刚才所得,对任意 $x'\in(x_0-a,x_0+a),y'=f(x')$ ,都有

$$y_0-b<y'<y_0+b$$

取足够小的 $\varepsilon$ ,那么

$$y_0-b\leq y'-\varepsilon<y'<y'+\varepsilon\leq y_0+b$$

由 $F(x',y)$ 的单调性,知

$$F(x',y'-\varepsilon)<0,\:F(x',y'+\varepsilon)>0$$

因此存在唯一的 $y$ ,使得 $F(x,y)=0$ ,即 $y=f(x)$ ,且 $|y-y'|<\varepsilon$ .也即当 $|x-x'|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x')|<\varepsilon$ , 因此 $f(x)$ 在 $x=x'$ 连续。由 $x'$ 的任意性可知 $f(x)$ 在 $(x_0-a,x_0+a)$ 上连续.

🔶 定理 9：隐函数可微性定理

设函数 $F(x,y)$ 满足定理thm:隐函数存在唯一性定理条件,且在 $D$ 上有连续的偏导数 $F_{x}(x,y)$ ,那么由 $F(x,y)$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $U(P_0)$ 上有连续的导函数 $f'(x)$ ,且

$$\begin{align} f'(x)=-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)} \end{align}$$

证：

设 $x,\Delta x\in(x_0-a,x_0+a)$ , $f(x),f(x+\Delta)\in(y_0-b,y_0+b)$ ,而 $\Delta y=f(x+\Delta)-f(x)=f(x+\Delta)-y$ ,由于

$$F(x,y)=0,F(x+\Delta,y+\Delta)=0$$

因此由二元函数中值定理thm:二元函数中值定理得

$$0=F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)=F_{x}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta x+F_{y}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta y$$

其中 $0<\theta<1$ ,那么

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{F_{x}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}{F_{y}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)}$$

因此

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}=-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$$

🔶 定理 10：两边求导-微分法

在求解由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的函数 $y=f(x)$ 的导数时,我们可以直接在方程两边同时对 $x$ 求导,或同时取微分,也能得到 $y$ 的导数 $f'(x)$ 。即

$$\begin{align} F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)y'=0 \end{align}$$

或者

$$\begin{align} d\left(F(x,y)\right)=F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy=0 \end{align}$$

这两个式子和式(34)是等价的,但在求解一些较为复杂的问题时,却更加方便。

笔记： 如果要求二阶导数,只需对(35)式两边再次同时求导即可。如果是更高阶导数,只需在(35)式两边一直求导,直到出现要求式即可。

📌 例 12

求由方程

$$F(x,y)=y-x-\frac{1}{2}\sin{y}=0$$

所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数。

解：

两边同时对 $x$ 求导,得

$$y'-1-\frac{y'}{2}\cos{y}=0$$

因此

$$y'=f'(x)=\frac{2}{2-\cos y}$$

📝 练习 2

求由方程

$$F(x,y)=x^3+y^3-3axy=0$$

所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数。(答案: $f'(x)=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$ )